从苹果到星辰：万有引力如何丈量宇宙

【来源：易教网 更新时间：2026-02-22】

那个砸中牛顿的苹果，究竟藏着什么秘密？

1666年的夏天，伦敦郊外的伍尔索普庄园里，二十四岁的艾萨克·牛顿正躲避着肆虐的鼠疫。某个傍晚，他坐在苹果树下，看着一颗熟透的苹果垂直落地。这个寻常到不能再寻常的场景，却在他脑海中掀起了一场风暴：月亮高悬天际，为什么不会掉下来？如果苹果受到地球的吸引，那么月亮呢？更远处的星辰呢？

这个疑问最终催生了人类科学史上最优美的定律之一——万有引力定律。它告诉我们，宇宙间任意两个有质量的物体，都存在着一种相互吸引的力。这种力让苹果落地，让月亮绕地球旋转，也让整个太阳系在虚空中跳起亿万年的舞蹈。

万有引力：自然界最普适的"纽带"

万有引力定律的数学表达式简洁得令人敬畏：

\[ F = G\frac{Mm}{r^2} \]

这里的 \( F \) 表示两个物体之间的引力大小，\( M \) 和 \( m \) 分别是两个物体的质量，\( r \) 是它们之间的距离。

而 \( G \) 被称为引力常量，其数值约为 \( 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 \)。

这个数值极其微小。我们可以做个思想实验：两个质量各为 \( 100 \, \text{kg} \) 的人相距 \( 1 \, \text{m} \) 站立，他们之间的引力大小约为 \( 6.67 \times 10^{-7} \, \text{N} \)，这相当于一根头发丝重量的千分之一。

正因为 \( G \) 如此微小，我们在日常生活中完全感受不到人与人之间的引力。一旦质量规模达到天体级别，这种力就显现出了它主宰宇宙的力量。

需要特别注意的是，这个公式有其适用条件。当两个物体的尺寸相对于它们之间的距离可以忽略不计时，我们可以将它们视为质点，直接套用公式计算。如果面对的是两个均匀的球体，比如地球和月球，那么 \( r \) 应该取两球心之间的距离。这种近似处理让我们能够用简单的数学描述复杂的宇宙。

重力的真相：你感受到的"重量"从何而来？

站在地球表面，我们时刻感受着重力。物理学中，重力通常用 \( mg \) 表示，其中 \( g \) 是重力加速度，约为 \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)。但重力本质上是什么？在忽略地球自转影响的理想情况下，地面物体所受的重力就近似等于地球对物体的万有引力。

我们可以建立这样的等式：

\[ mg = G\frac{Mm}{R^2} \]

其中 \( M \) 是地球质量，\( R \) 是地球半径。消去物体质量 \( m \)，我们得到了重力加速度的表达式：

\[ g = \frac{GM}{R^2} \]

这个公式揭示了一个深刻的物理图像：你感受到的重力加速度，完全由地球的质量和半径决定。这也意味着，如果我们知道地球的半径，通过测量 \( g \)，我们就能推算出地球的质量。卡文迪许在1798年通过扭秤实验精确测量了 \( G \) 值后，人类第一次"称量"出了地球的质量。

当我们把视线投向高空，情况会发生变化。距离地面高度为 \( h \) 处的重力加速度 \( g' \) 满足：

\[ g' = \frac{GM}{(R+h)^2} \]

随着高度增加，分母变大，重力加速度随之减小。在海拔 \( 3000 \, \text{m} \) 的高原上，\( g \) 值比海平面大约小 \( 0.1\% \)。这种差异在日常生活中难以察觉，但对于精密仪器和航天计算至关重要。

逃离地球：三种宇宙速度的物理本质

理解了万有引力，我们就能回答一个激动人心的问题：要以多快的速度抛出一个物体，它才能摆脱地球的怀抱？

第一宇宙速度，又称环绕速度，是指物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动所需的最小速度。此时，地球的万有引力恰好提供物体做圆周运动所需的向心力：

\[ G\frac{Mm}{R^2} = \frac{mv^2}{R} \]

解这个方程，我们得到：

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

利用黄金代换式 \( GM = gR^2 \)，可以将其转化为更直观的形式：

\[ v = \sqrt{gR} \]

代入数值 \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)，\( R \approx 6.4 \times 10^6 \, \text{m} \)，计算结果约为 \( 7.9 \, \text{km/s} \)。这就是人造卫星绕地球运行的速度，也是人类进入太空的第一道门槛。

如果速度继续增加，达到 \( 11.2 \, \text{km/s} \)，物体就能完全摆脱地球引力的束缚，飞向太阳系的其他角落，这被称为第二宇宙速度。而当速度达到 \( 16.7 \, \text{km/s} \) 时，物体甚至可以脱离太阳的引力，驶向星际空间，这就是第三宇宙速度。

这三种速度构成了人类航天活动的阶梯。从近地轨道到月球探测，再到行星际旅行，每一次速度的提升都意味着能量的一次质变。

开普勒的遗产：用周期称量天体

在牛顿之前，开普勒通过对第谷·布拉赫观测数据的数学分析，总结出了行星运动的三大定律。其中第三定律，即周期定律，指出行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方之比是一个常数：

\[ \frac{r^3}{T^2} = k \]

牛顿的万有引力定律为这一定律提供了理论解释。对于绕中心天体做圆周运动（或近似圆周运动）的卫星，万有引力提供向心力：

\[ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{4\pi^2}{T^2}r \]

整理后得到：

\[ M = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2} \]

这个公式具有非凡的意义。我们不需要飞到太阳上取样，只需要测量地球绕太阳公转的轨道半径和周期，就能计算出太阳的质量。同样，通过观测月球绕地球的周期和距离，我们也能精确测定地球的质量。这种方法让天文学从观测科学变成了测量科学。

统一与简洁的美

从苹果落地到行星运转，从 \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \) 到 \( 7.9 \, \text{km/s} \)，万有引力定律用一条简单的数学关系统一了天上与地上的运动规律。在此之前，亚里士多德认为天界与地界遵循不同的法则；

在此之后，人类意识到整个宇宙都在同一套物理定律的支配之下。

当你下次看到火箭升空，想到那个速度必须精确达到 \( 7.9 \, \text{km/s} \) 才能维持轨道，想到空间站里的宇航员正处于失重状态是因为他们和飞船一起在"自由落体"，你就会理解：物理学的美，在于它用极简的公式描述了极广的自然现象。而万有引力定律，正是这种美的最佳诠释。