三角函数公式大全：哪些公式必背

【来源：易教网 更新时间：2025-02-01】

三角函数是数学中的一类基本函数，属于初等函数中的超越函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合之间的映射。通常情况下，三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。然而，另一种常见的定义是在直角三角形中，但这并不是完整的定义。

现代数学通过无穷数列的极限和微分方程的解，将三角函数的定义扩展到了复数系。

在学习三角函数时，掌握一些基本的公式是非常重要的。这些公式不仅有助于解决复杂的数学问题，还能帮助我们更好地理解和应用三角函数的性质。以下是几个必背的三角函数公式及其详细解释。

半角公式

半角公式用于将一个角度的三角函数值表示为其一半角度的三角函数值。这些公式在解决某些特定问题时非常有用。

1. 正弦半角公式

$$\sin \left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$$

这个公式表明，一个角的正弦值的一半可以通过该角的余弦值来计算。

2. 余弦半角公式

$$\cos \left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$$

这个公式同样表明，一个角的余弦值的一半也可以通过该角的余弦值来计算。

3. 正切半角公式

$$\tan \left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}$$

这个公式用于计算一个角的正切值的一半。

倍角公式

倍角公式用于将一个角度的三角函数值表示为其两倍角度的三角函数值。这些公式在处理复杂的三角函数问题时非常有用。

1. 正弦倍角公式

$$\sin (2A)=2\sin A\cos A$$

这个公式表明，一个角的正弦值的两倍可以通过该角的正弦值和余弦值的乘积来计算。

2. 余弦倍角公式

$$\cos (2A)={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=1-2{\sin }^{2}A=2{\cos }^{2}A-1$$

这个公式有三种不同的形式，可以根据具体问题选择最合适的表达方式。

3. 正切倍角公式

$$\tan (2A)=\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}$$

这个公式用于计算一个角的正切值的两倍。

两角和与差公式

两角和与差公式用于将两个角度的和或差的三角函数值表示为这两个角度的三角函数值的组合。这些公式在解决涉及多个角度的问题时非常有用。

1. 正弦和公式

$$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

$$\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$

2. 余弦和公式

$$\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$

$$\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$$

3. 正切和公式

$$\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$

$$\tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$$

积化和差公式

积化和差公式用于将两个三角函数的乘积表示为两个三角函数的和或差的形式。这些公式在简化复杂的三角函数表达式时非常有用。

1. 正弦积化和差公式

$$\sin A\sin B=-\frac{1}{2}[\cos (A+B)-\cos (A-B)]$$

2. 余弦积化和差公式

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$$

3. 正弦余弦积化和差公式

$$\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (A-B)]$$

$$\cos A\sin B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)-\sin (A-B)]$$

和差化积公式

和差化积公式用于将两个三角函数的和或差表示为两个三角函数的乘积的形式。这些公式在处理复杂的三角函数问题时非常有用。

1. 正弦和差化积公式

$$\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\sin A-\sin B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

2. 余弦和差化积公式

$$\cos A+\cos B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos A-\cos B=-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

3. 正切和差化积公式

$$\tan A+\tan B=\frac{\sin (A+B)}{\cos A\cos B}=\tan (A+B)(1-\tan A\tan B)$$

$$\tan A-\tan B=\frac{\sin (A-B)}{\cos A\cos B}=\tan (A-B)(1+\tan A\tan B)$$

同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式描述了同一个角度的不同三角函数值之间的关系。这些关系式在解决三角函数问题时非常有用。

1. 倒数关系

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$$

$$\sin \alpha \cdot \csc \alpha =1$$

$$\cos \alpha \cdot \sec \alpha =1$$

2. 商数关系

$$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha =\frac{\sec \alpha }{\csc \alpha }$$

$$\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\cot \alpha =\frac{\csc \alpha }{\sec \alpha }$$

3. 平方关系

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

$$1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$$

$$1+{\cot }^2\alpha ={\csc }^2\alpha$$

为了更好地理解和记忆这些公式，可以构造一个“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形模型。在这个模型中：

- 倒数关系：对角线上的两个函数互为倒数。

- 商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

- 平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

通过这种方式，可以更加直观地理解和记忆这些复杂的三角函数公式。希望这些公式能帮助你在数学学习中取得更好的成绩。