数学学习妙用36口诀23（三角函数值在象限内的符号）

【来源：易教网 更新时间：2025-04-21】

轻松掌握三角函数符号与性质的记忆技巧

一、三角函数符号记忆法——“郑玄吃鱼”口诀

1. 口诀解析

"郑玄吃鱼"是一个巧妙的记忆工具，帮助我们快速记住三角函数在四个象限内的符号规律。每个字对应一个象限的符号特点：

- 郑（Ⅰ象限）：中皆为正

第一象限内，所有三角函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）的值均为正。

*记忆点：郑玄的名字谐音"中"，代表所有函数"中规中矩"，符号全正。*

- 玄（Ⅱ象限）：弦（正弦）及其倒数余割为正

第二象限内，只有正弦（sin）和余割（csc）为正，其余函数为负。

*记忆点："玄"与"弦"发音相近，正弦函数的"弦"字暗示该象限的正符号函数。*

- 吃（Ⅲ象限）：切（正切）及其倒数余切为正

第三象限内，只有正切（tan）和余切（cot）为正，其余函数为负。

*记忆点："吃"与"切"发音相近，正切的"切"字对应该象限的正符号。*

- 鱼（Ⅳ象限）：余（余弦）及其倒数正割为正

第四象限内，只有余弦（cos）和正割（sec）为正，其余函数为负。

*记忆点："鱼"与"余"同音，余弦的"余"字直接对应第四象限的符号规则。*

2. 口诀应用场景

- 解题时快速判断符号：例如已知角度位于第三象限，可直接通过"吃"字确定正切和余切为正。

- 避免计算错误：在解三角方程或化简表达式时，先确定符号能减少低级错误。

二、三角函数的互倒关系与奇偶性记忆法

1. 互倒关系口诀

三角函数分为三组互为倒数的函数：

- 一、六：正弦（sin）与余割（csc）互为倒数（sinα × cscα = 1）

- 三、四：正切（tan）与余切（cot）互为倒数（tanα × cotα = 1）

- 二、五：余弦（cos）与正割（sec）互为倒数（cosα × secα = 1）

2. 奇偶性规律

- 二、五不变：余弦（cos）和正割（sec）是偶函数，满足 f(-x) = f(x)。

*例如：cos(-θ) = cosθ，sec(-θ) = secθ*

- 其余为奇函数：正弦（sin）、余弦（tan）、余切（cot）、余割（csc）均为奇函数，满足 f(-x) = -f(x)。

*例如：sin(-θ) = -sinθ，tan(-θ) = -tanθ*

3. 实战应用

- 化简表达式：利用互倒关系简化复杂式子。例如：

$$\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\times \cot \theta =\tan \theta \times \cot \theta =1$$

- 验证对称性：判断函数图像是否关于y轴或原点对称。例如，cosθ的图像关于y轴对称（偶函数特性）。

三、三角函数符号与性质的综合应用

1. 象限符号与互倒关系的结合

- 例题：已知θ位于第二象限，且sinθ = 3/5，求tanθ的值。

解答步骤：

1. 根据"玄"字规则，第二象限正弦为正，余弦为负。

2. 利用勾股定理求cosθ：

$$\cos \theta =-\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=-\sqrt{1-(9/25)}=-\frac{4}{5}$$

3. 计算tanθ = sinθ / cosθ = (3/5) / (-4/5) = -3/4。

*注意：tanθ在第二象限为负，符合"玄"的符号规则。*

2. 奇偶性在解题中的妙用

- 例题：证明函数f(x) = sin(x) + cos(-x)是偶函数。

解答：

1. 利用偶函数定义，验证f(-x) = f(x)。

2. 计算f(-x) = sin(-x) + cos(x) = -sinx + cosx。

3. 但原式f(x) = sinx + cosx，显然不等于f(-x)。

4. 结论：原命题错误！需修正题目条件或重新分析。

*此例说明奇偶性判断需严谨，不可依赖单一记忆口诀。*

四、学习技巧与常见误区

1. 学习技巧

- 口诀结合图像记忆：画出坐标系并标注各象限符号，配合"郑玄吃鱼"口诀反复记忆。

- 分组对比记忆：将互为倒数的函数分组（如sin与csc），同时对比奇偶性差异。

- 动手验证：用计算器输入不同象限的角度，观察函数值符号是否符合口诀。

2. 常见误区

- 误区1："第四象限只有余弦为正" → 错！余割（csc）是余弦的倒数，符号需同步判断。

- 误区2：认为所有三角函数在第一象限均为正，但需注意定义域限制（如tan90°无意义）。

- 误区3：混淆"互为倒数"与"互为余函数"，例如sin与cos并非倒数关系。

五、拓展练习与进阶学习

1. 基础练习

1. 写出第三象限内所有三角函数的符号。

2. 若tanθ为正，且cosθ为负，θ位于哪个象限？

3. 证明：cotθ = 1/tanθ（利用互倒关系）。

2. 进阶挑战

- 应用题：已知θ为钝角（第二象限），且sinθ = 0.6，求secθ的值。

- 证明题：利用奇偶性，证明tan(-x) = -tanx。