正定矩阵的性质与判定

【来源：易教网 更新时间：2025-03-06】

正定矩阵在数学和工程领域中具有广泛的应用，特别是在线性代数、优化理论以及数值分析等方面。本文将深入探讨正定矩阵的定义、性质及其判定方法，并通过具体例子进行说明。文章将分为以下几个部分：正定矩阵的定义、实对称矩阵与复厄米特矩阵的区别、正定性的判定方法、以及具体的例子和应用。

一、正定矩阵的定义

正定矩阵（Positive Definite Matrix）是线性代数中的一个重要概念，它不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也扮演着关键角色。根据不同的定义域，正定矩阵可以分为广义定义和狭义定义两种形式。

1. 广义定义：

设 $M$ 是一个 $n$ 阶方阵，如果对于任何非零向量 $z$，都有 $z^{T}Mz>0$，其中 $z^T$ 表示 $z$ 的转置，则称 $M$ 为正定矩阵。这里的 $z$ 可以是任意的非零向量，不限于实数或复数。

2. 狭义定义：

对于一个 $n$ 阶的实对称矩阵 $M$，它是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量 $z$，都有 $z^{T}Mz>0$。这里的 $z^T$ 同样表示 $z$ 的转置。这个定义要求 $M$ 必须是对称矩阵。

此外，对于复数域上的矩阵，正定矩阵需要满足更严格的条件。具体来说，复数域上的正定矩阵必须是厄米特矩阵（Hermitian Matrix），即满足 $A=A^{\ast }$，其中 $A^{\ast }$ 表示 $A$ 的共轭转置。

因此，在复数域上，正定矩阵的定义可以扩展为：对于任意非零复向量 $z$，都有 $z^{\ast }Az>0$，其中 $z^{\ast }$ 表示 $z$ 的共轭转置。

二、实对称矩阵与复厄米特矩阵的区别

正定矩阵在不同数域上的定义有所不同，主要体现在对称性和厄米特性上。下面我们详细讨论这两者的区别：

1. 实对称矩阵：

实对称矩阵是指元素为实数且满足 $A=A^T$ 的矩阵。在这种情况下，正定矩阵的定义较为直观，即对于任意非零实向量 $z$，都有 $z^{T}Az>0$。实对称矩阵的一个重要性质是其所有特征值都是实数，并且可以通过对角化将其转化为对角矩阵。

2. 复厄米特矩阵：

复厄米特矩阵是指元素为复数且满足 $A=A^{\ast }$ 的矩阵，其中 $A^{\ast }$ 表示 $A$ 的共轭转置。复厄米特矩阵的正定性要求更为严格，即对于任意非零复向量 $z$，都有 $z^{\ast }Az>0$。

复厄米特矩阵的特征值也都是实数，但其对角化过程涉及到复数运算。

三、正定性的判定方法

正定矩阵的判定方法有多种，常见的包括主子式法、特征值法、以及标准型法等。下面我们逐一介绍这些方法：

1. 主子式法：

对于一个 $n$ 阶的实对称矩阵 $A$，如果它的所有顺序主子式都大于零，则 $A$ 是正定矩阵。顺序主子式是指从左上角开始按行和列依次取 $k\times k$ 子矩阵的行列式，其中 $k=1,2,\dots ,n$。

例如，对于一个 $3\times 3$ 矩阵 $A$，我们需要检查 $a_{11}>0$，$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0$，以及 $det(A)>0$。

2. 特征值法：

如果一个矩阵的所有特征值都是正数，则该矩阵是正定的。这是因为特征值反映了矩阵在不同方向上的伸缩情况，而正定矩阵在各个方向上都表现为拉伸而非压缩。特征值法的优点在于它可以适用于任意阶的矩阵，而不仅仅是对称矩阵。

3. 标准型法：

标准型法是通过将矩阵转化为某种标准形式来判断其正定性。对于实对称矩阵，我们可以通过合同变换将其转化为对角矩阵，然后检查对角元素是否全为正。对于复厄米特矩阵，我们可以通过酉变换将其转化为对角矩阵，同样检查对角元素是否全为正。

四、具体的例子和应用

为了更好地理解正定矩阵的概念，我们通过几个具体的例子来进行说明。

1. 例子 1：实对称矩阵

考虑一个 $2\times 2$ 的实对称矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

我们可以通过主子式法来判断其正定性。首先，计算 $a_{11}=2>0$；其次，计算 $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=4-1=3>0$。因此，矩阵 $A$ 是正定的。

2. 例子 2：复厄米特矩阵

考虑一个 $2\times 2$ 的复厄米特矩阵：

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& i\\ -i& 1\end{array}\right)$$

我们可以通过特征值法来判断其正定性。计算 $B$ 的特征值，得到 ${\lambda }_1=2$ 和 ${\lambda }_2=0$。由于其中一个特征值为零，因此矩阵 $B$ 不是正定的，而是半正定的。

3. 例子 3：非对称矩阵

考虑一个 $2\times 2$ 的非对称矩阵：

$$C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

尽管 $C$ 不是对称矩阵，但我们仍然可以构造一个对称矩阵 $A=(C+C^T)/2$ 来判断其正定性。计算得到：

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

显然，矩阵 $A$ 是正定的，因此原矩阵 $C$ 在某些情况下也可以表现出正定的特性。

五、总结

正定矩阵作为线性代数中的一个重要概念，具有丰富的理论内涵和广泛的应用背景。通过对正定矩阵的定义、性质及其判定方法的深入探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念。无论是实对称矩阵还是复厄米特矩阵，正定性都为我们提供了一种强有力的工具，用于分析和解决各种数学问题。

在未来的研究中，我们可以进一步探索正定矩阵在其他领域的应用，如机器学习、图像处理等，以期发现更多的可能性。