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一次函数：从课本例题看透“变量关系“的本质
更新时间：2026-08-07
很多同学刚接触一次函数时会有一个疑问：数学课本上为什么非要用字母 \( y=kx+b \) 来描述生活中那些看起来很简单的数量关系？
汽车距北京的路程随时间变化、水费随用水量变化、存款数随月份变化……这些事情用算术不是也可以算吗？
要回答这个疑问，需要从"变量"这个核心概念说起。
在小学阶段，我们处理的大多是固定不变的量。但在现实世界中，很多量是相互关联、不断变化的。数学要做的，就是用一种简洁的方式把这种变化规律"固化"下来，让人们只要知道其中一个量，就能推算出另一个量。
一次函数，就是描述均匀变化的最基本的数学工具。
课本上给出了三个问题，我们逐一来分析。
问题1： 汽车从A地驶向北京，高速公路全程570千米，汽车平均速度95千米/小时。设行驶时间为 \( t \) 小时，距北京的路程为 \( s \) 千米。
每行驶一小时，距北京就少95千米。所以：
\[ s = 570 - 95t \]
这里的 \( s \) 和 \( t \) 都是变量，\( s \) 的值由 \( t \) 决定，\( t \) 是自变量，\( s \) 是因变量。
问题2： 小张已有存款50元，之后每月节存12元。设月份数为 \( x \)，存款数为 \( y \) 元。
每个月的存款等于原有存款加上这几个月新存的。所以：
\[ y = 50 + 12x \]
问题3： 这两个函数有什么共同点？
把两个式子整理一下：
\[ s = -95t + 570 \quad \Rightarrow \quad y = -95x + 570 \]
\[ y = 12x + 50 \]
会发现，它们都可以写成自变量的1次方乘以一个常数，再加上另一个常数的形式。也就是说，左边是因变量，右边是含自变量的代数式，自变量和因变量的指数都是1次。
数学上严格定义：
一般地，若两个变量 \( x, y \) 间的关系式可以表示成：
\[ y = kx + b \quad (k, b \text{为常数}, k \neq 0) \]
的形式，则称 \( y \) 是 \( x \) 的一次函数（\( x \) 为自变量，\( y \) 为因变量）。特别地，当 \( b = 0 \) 时，称 \( y \) 是 \( x \) 的正比例函数。
这里有两个关键点需要把握：
第一，\( k \neq 0 \)。如果 \( k = 0 \)，那么 \( y = b \) 就变成了常数函数，不再是"一次"了。
第二，\( b \) 可以是0，也可以不是0。\( b = 0 \) 时就是正比例函数，\( b \neq 0 \) 时是普通的一次函数。
所以，正比例函数是一次函数的特例，所有正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
例1： 下列函数中，哪些是一次函数？
观察每个选项，关键看能否整理成 \( y = kx + b \ (k \neq 0) \) 的形式：
- \( y = x - 6 \)：\( k=1, b=-6 \)，符合，是一次函数；
- \( y = 2x \)：\( k=2, b=0 \)，符合，是一次函数（同时也是正比例函数）；
- \( y = \dfrac{1}{x} \)：自变量在分母，整理后含 \( x^{-1} \)，不是一次函数；
- \( y = 7 - x \)：\( k=-1, b=7 \)，符合，是一次函数。
所以符合条件的有①②④。
例2： 写出下列情境的函数关系式，并判断类型。
(1) 面积为 \( 10 \text{ cm}^2 \) 的三角形，底 \( a \) 与高 \( h \) 的关系：
三角形面积公式 \( S = \dfrac{1}{2}ah \)，代入 \( S = 10 \)，得：
\[ a = \dfrac{20}{h} \]
含 \( h \) 在分母中，不是 \( h \) 的一次函数，不能写成 \( y = kx + b \) 的形式。
(2) 长方形周长 \( L \) 与宽 \( b \) 的关系（长为8 cm）：
周长公式 \( L = 2(\text{长} + \text{宽}) = 2(8 + b) = 2b + 16 \)。
这是 \( b \) 的一次函数，其中 \( k=2, b_0=16 \)。
(3) 食堂原有煤120吨，每天用5吨，\( x \) 天后剩煤 \( y \) 吨：
\[ y = 120 - 5x \]
这是 \( x \) 的一次函数，\( k=-5, b=120 \)。
(4) 汽车每小时行40千米，\( t \) 小时行驶路程 \( s \)：
\[ s = 40t \]
这是 \( t \) 的一次函数，同时 \( b=0 \)，所以也是正比例函数。
(5) 汽车以60千米/时匀速行驶，路程 \( y \) 与时间 \( x \)：
\[ y = 60x \]
是一次函数，也是正比例函数。
(6) 圆的面积 \( y \) 与半径 \( x \)：
\[ y = \pi x^2 \]
含 \( x^2 \)，不是一次函数，也不是正比例函数。
(7) 一棵树现在高50厘米，每月长高2厘米，\( x \) 个月后高 \( y \) 厘米：
\[ y = 50 + 2x \]
是 \( x \) 的一次函数，但 \( b=50 \neq 0 \)，不是正比例函数。
通过这一组例题可以总结出判断方法：先写出函数解析式，再整理成标准形式，看是否符合 \( y = kx + b \) 来判断是否为一次函数，看 \( b \) 是否为0来判断是否为正比例函数。
例3： 已知函数 \( y = (k-2)x + 2k + 1 \)，问 \( k \) 取何值时它是正比例函数？\( k \) 取何值时它是一次函数？
根据定义：
若它是正比例函数，则 \( b = 2k + 1 = 0 \)，解得：
\[ k = -\dfrac{1}{2} \]
此时 \( y = (-\dfrac{1}{2} - 2)x = -\dfrac{5}{2}x \)，确实是正比例函数。
若它是一次函数，则需要 \( k - 2 \neq 0 \)，即：
\[ k \neq 2 \]
例4： 已知 \( y \) 与 \( x - 3 \) 成正比例，当 \( x = 4 \) 时，\( y = 3 \)。
(1) 求 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系式。
"\( y \) 与 \( x - 3 \) 成正比例"，根据正比例函数的定义，可以写成：
\[ y = k(x - 3) \]
其中 \( k \) 是待定系数。
把 \( x = 4, y = 3 \) 代入：
\[ 3 = k(4 - 3) = k \]
解得 \( k = 3 \)。所以函数关系式为：
\[ y = 3(x - 3) = 3x - 9 \]
(2) 这个函数是一次函数吗？
整理后 \( y = 3x - 9 \)，符合 \( y = kx + b \) 的形式，\( k = 3 \neq 0 \)，所以是 \( x \) 的一次函数。但 \( b = -9 \neq 0 \)，所以 不是 正比例函数。
(3) 当 \( x = 2.5 \) 时：
\[ y = 3 \times 2.5 - 9 = 7.5 - 9 = -1.5 \]
例5： A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米。某人骑自行车以12千米/时的速度从A地出发经B地到达C地。设骑行时间为 \( x \) 小时，离B地距离为 \( y \) 千米。
这道题需要分阶段考虑，因为人在不同路段，离B地的距离变化规律不同。
(1) 当此人在A、B两地之间时：
此时人还没有骑到B地，离B地的距离 = A、B两地的距离 - 已经骑行的路程：
\[ y = 30 - 12x \]
时间范围：从A到B用了 \( \dfrac{30}{12} = 2.5 \) 小时，所以：
\[ 0 \leq x \leq 2.5 \]
(2) 当此人在B、C两地之间时：
此时人已经骑过B地，离B地的距离 = 已经骑行的路程 - A、B两地的距离：
\[ y = 12x - 30 \]
从B到C的距离是48千米，用时 \( \dfrac{48}{12} = 4 \) 小时，所以从出发到C地总时间是 \( 2.5 + 4 = 6.5 \) 小时。因此：
\[ 2.5 \leq x \leq 6.5 \]
这道题说明：同一个情境的不同阶段，可以用不同的一次函数来描述。
例6： 某油库有一个储油罐，开始的8分钟只开进油管，油罐的储油量从0增至24吨；之后进油管和出油管同时打开16分钟，储油量从24吨增至40吨；最后关闭进油管只开出油管，直到油罐内的油放完。
设储油量为 \( y \) 吨，进出油时间为 \( x \) 分钟，求 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系。
第一阶段（只开进油管）：
进油速度 = \( 24 \div 8 = 3 \) 吨/分，所以：
\[ y = 3x \quad (0 \leq x \leq 8) \]
第二阶段（进油管和出油管同时开）：
净增加量 = \( 40 - 24 = 16 \) 吨，净速度 = \( 16 \div 16 = 1 \) 吨/分，所以：
\[ y = 24 + (x - 8) = x + 16 \quad (8 \leq x \leq 24) \]
第三阶段（只开出油管）：
需要先求出油速度。设出油速度为 \( v \) 吨/分。在第二阶段中，进油速度是3吨/分，净速度是1吨/分，所以：
\[ 3 - v = 1 \Rightarrow v = 2 \text{ 吨/分} \]
第三阶段从 \( x = 24 \) 开始，储油量为40吨，全部放完需要 \( \dfrac{40}{2} = 20 \) 分钟，所以第三阶段结束时间是 \( x = 44 \)。
在这一阶段内，储油量随时间减少：
\[ y = 40 - 2(x - 24) = -2x + 88 \quad (24 \leq x \leq 44) \]
把三个阶段合起来，储油量 \( y \) 是时间 \( x \) 的分段函数，每一段都是一次函数，但整体上不是一次函数。
练习： 某城市水费标准为：每户每月用水不超过6立方米时，按0.6元/立方米收费；超过6立方米时，超过部分按1元/立方米收费。设用水量为 \( x \) 立方米，应缴水费为 \( y \) 元。
(1) 写出 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系式。
当 \( 0 \leq x \leq 6 \) 时：
\[ y = 0.6x \]
当 \( x > 6 \) 时：6立方米以内的费用是 \( 0.6 \times 6 = 3.6 \) 元，超过部分 \( (x - 6) \) 立方米按1元/立方米收费，所以：
\[ y = 3.6 + 1 \cdot (x - 6) = x - 2.4 \]
这两个式子分别都是一次函数，但合起来看是分段函数。
(2) 已知某户5月份用水8立方米，求水费。
因为 \( 8 > 6 \)，代入第二个式子：
\[ y = 8 - 2.4 = 5.6 \text{ 元} \]
学完本节课，需要把握以下核心内容：
第一，一次函数的定义：形如 \( y = kx + b \ (k, b \text{为常数}, k \neq 0) \) 的函数。\( b = 0 \) 时为正比例函数，是一次函数的特例。
第二，判断一个函数是否为一次函数，关键看能否整理成标准形式 \( y = kx + b \)，且 \( k \neq 0 \)。
第三，根据已知信息写出一次函数表达式时，常常需要设出待定系数，利用已知条件代入求解。
第四，实际应用中常出现分段函数，每一段可能是一次函数，但整体不一定是。要根据情境分阶段讨论。
1. 已知 \( y - 3 \) 与 \( x \) 成正比例，且 \( x = 2 \) 时 \( y = 7 \)。
(1) 写出 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系式；
(2) 判断 \( y \) 与 \( x \) 之间是什么函数关系；
(3) 当 \( y = -4 \) 时，求 \( x \) 的值。
2. 甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元。设包裹重量为 \( x \) 千克，总邮资为 \( y \) 元，求 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系式，并计算5千克重包裹的邮资。
3. 仓库内有粉笔400盒，每周领出36盒。设经过 \( t \) 周后剩余粉笔盒数为 \( Q \)，求 \( Q \) 与 \( t \) 的函数关系。
4. 植树节同学们种的树苗高1.80米。据介绍这种树苗平均每年长高0.35米。求树高与年数之间的函数关系式，并算一算6年后这些树约有多高。
5. 按照税法规定：个人月收入不超过800元，免交个人所得税；超过800元不超过1300元的部分，需缴纳5%的个人所得税。试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳税金 \( y \)（元）与月收入 \( x \)（元）之间的函数关系式。
这些题目都贴近日常生活，从邮资、粉笔消耗、树苗生长到个人所得税，本质上都是用一次函数来描述"均匀变化"的规律。掌握好一次函数，相当于掌握了一把打开许多实际问题大门的钥匙。